5.6. Đối xứng trục

ÔN TẬP: ĐỐI XỨNG TRỤC

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Bạn đang xem: điểm đối xứng là gì

A. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

1. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng

Hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường truc trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó

(Nếu điểm B nằm trên đường thẳng d thì điểm đối xứng với B qua đường d cũng là điểm B)

2. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

a) Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại

b) Tính chất: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.

B. Hình có trục đối xứng

Trục đối xứng qua một hình:

a) Định nghĩa: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng qua d của mỗi điểm thuộc hình F cũng thuộc hình F

b) Tính chất: Hình thang cân nhận đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy làm trục đối xứng 

BÀI TẬP VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho hình thang cân ABCD. Gọi d là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy hình thang. Chứng minh rằng hai đường chéo cắt nhau tại một điểm trên d.

Bài giải: 

Đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đáy của hình thang cân nên là trục đối xứng.

là đường trung trực của ( và ).

Giả sử cắt tại . Xét hai tam giác và , ta có:

Vậy ⇒ .

Vậy cân tại hay nằm trên đường trung trực của đoạn

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1: Trong các biển báo giao thông sau đây, biển nào có trục đối xứng?

Bài giải:

Các hình có trục đối xứng đó là : Hình a, hình b, hình d.

Bài 2: Cho tam giác ABC có , điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC.

a) Chứng minh rằng AD = AE.

b) Tính số đo góc DAE.

Bài giải:

a) D đối xứng với M qua AB.

AB là đường trung trực của MD.

AD = AM.

E đối xứng với M qua AC.

AC là đường trung trực của ME.

AE = AM.

Vậy AD = AE.

b) cân tại A

cân tại A

Do đó

Suy ra .

BÀI TẬP NÂNG CAO

Bài 1: Cho hình thang ABCD (). Gọi H là điểm đối xứng với B qua AD, I là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng .

Bài giải:

B đối xứng H qua AD.

AD là đường trung trực của BH.

IB = IH.

cân tại I.

Tại lại có (đối đỉnh)

Suy ra .

Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua AB và AC.

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn EF.

b) Chứng minh rằng: BC = BE + CF.

Bài giải:

a) E là điểm đối xứng của H qua AB nên AB là đường trung trực của EH .

F là điểm đối xứng của H qua AC nên AC là đường trung trực của FH .

(cùng bằng AH)                 (1)

Mặt khác và .

Do đó , tức là E, A, F thẳng hàng.        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A là trung điểm của EF.

b) Ta có:

E là điểm đối xứng của H qua AB nên AB là đường trung trực của EH    (3)

F là điểm đối xứng của H qua AC nên AC là đường trung trực của FH     (4)

Mặt khác BC = BH + HC. Nên từ (3), (4) ta được: BC = BE + CF.

Xem thêm: Hình bình hành